Qualche richiamo di Probabilità illustrato attraverso un problema di geofisica

Franco Flandoli, Scuola Normale Superiore
Andrea Bevilacqua, Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (sezione di Pisa)

III Incontro del corso di aggiornamento per insegnanti “La matematica nel mondo contemporaneo” Modulo I “Complessità e Probabilità”

Se osserviamo il mondo che ci circonda notiamo che esistono fenomeni regolari e prevedibili, ad esempio il susseguirsi del giorno e della notte, l’alternanza delle stagioni e le eclissi che sono calcolate dagli astronomi con grande anticipo e precisione. Per descrivere queste situazioni si usano leggi deterministiche, il cui prototipo sono le equazioni differenziali alla base della meccanica di Newton e di gran parte della fisica classica.
Ci sono però anche fenomeni che non sembrano affatto seguire leggi precise come quelle che valgono per le eclissi o per i corpi che cadono. Quando abbiamo a che fare con giochi come i dadi, la roulette, il lotto, l’andamento della borsa, e così via, invece di parlare di leggi usiamo termini come caso e aleatorietà, e la descrizione matematica si basa sulla teoria della probabilità.
Ovviamente non è del tutto soddisfacente assumere che esistano due tipi di situazioni completamente diverse: quelle regolate da leggi certe (deterministiche), e quelle che seguono leggi aleatorie. Si potrebbe infatti notare che i dadi e le palline delle roulette obbediscono alle leggi della meccanica di Newton, proprio come i sassi che cadono e i corpi celesti.
È possibile superare questa dicotomia apparentemente inconciliabile?
In questa lezione si mostra come in presenza di caos, in cui piccole differenze dello stato del sistema al tempo iniziale vengono amplificate in modo esponenziale (il famoso, e spesso citato a sproposito, effetto farfalla), è possibile introdurre in modo coerente (e non soggettivo) concetti probabilistici anche in sistemi deterministici.
È interessante notare che, per quanto riguarda la certezza, questa non è affatto esclusiva delle teorie deterministiche. I teoremi limite (primo fra tutti la legge dei grandi numeri) mostrano che in un sistema con un grande numero di componenti si può avere un determinismo probabilistico.
Questo è stato ben riassunto da B.V. Gnedenko e A.N. Kolmogorov:
«Tutto il valore epistemologico della teoria delle probabilità è basato su questo: i fenomeni aleatori, considerati nella loro azione collettiva a grande scala, generano una regolarità non aleatoria».

25 gennaio 2019 | Sala Azzurra